p-4cr-2ra-1H. RickertF. MauthnerF. KuntzeE. CassirerH. CzolbeW. Moog     
 
RICHARD HÖNIGSWALD
Zum Streit über die
Grundlagen der Mathematik

[1/3]

"Bezeichnet Mathematik die höchste Form methodischer Erkenntnis, dann ist die Frage nach der Möglichkeit einer mathematischen Naturwissenschaft gleichbedeutend mit derjenigen nach den Gründen der Naturerkenntnis überhaupt, mit der Frage nach dem Prinzip der Vereinigung von Denken und Sein im Tatbestand der Erkenntnis."

"Die grundsätzliche und durchgängige Rationalisierung mathematischer Erkenntnis schließt jeden Versuch einer Begründung der Mathematik durch die Beziehung auf Realitäten und Objekte schlechterdings aus. Keine Berufung auf Tatsachen und nichts, was an eine solche nur entfernt erinnern könnte, darf sich dem Beweisgang der Mathematik in den Weg stellen. Kein Hinweis auf die psychologische Evidenz oder selbst auf die Selbstverständlichkeit einer Position läßt die Forderung ihrer Rechtfertigung durch Beweis überflüssig erscheinen."

"Im Begriff der Erkenntnis überhaupt, oder, was dasselbe bedeutet, im Rahmen einer allgemeinen Theorie des Objekts muß die ursprüngliche Dualität von begrifflicher und von Wirklichkeitserkenntnis überwunden werden."

"Nur im Begriff wird die Wirklichkeit Objekt der wissenschaftlichen Erfahrung. Die obersten Grundsätze der Erkenntnis bestimmen fortan nicht nur die logische Gliederung und den Betrieb der Erfahrungswissenschaft als eine gleichsam nur subjektive von der Natur der Dinge grundsätzlich geschiedene Sphäre."

"Ist die unerläßliche Beziehung des Begriffs auf das Objekt, ist die Einheit von Begriff und Objekt auch in der Mathematik vorhanden? Oder fehlt hier eine solche Beziehung und steht somit das Problem des mathematischen Begriffs grundsätzlich außerhalb einer allgemeinen Theorie des Objekts?"


Vorwort

Nicht die bewußte Flüchtigkeit der Konzeption soll durch die Bezeichnung der vorliegenden Abhandlung als "Studie" angedeutet werden. Diese Bezeichnung will vielmehr nur ein Hinweis darauf sein, daß ihre Probleme an allen Punkten zu umfassenderen Fragestellungen hindrängen. Gelingt es ihr, diese Fragestellungen dem Kundigen nahezulegen, so ist ihr Zweck erfüllt. So mißt sie der Exposition ihrer Probleme naturgemäß eine größere Bedeutung bei als deren Lösung.

Die höchste wissenschaftliche Pflicht der kritischen Erkenntnislehre ist Kritik an sich selbst. Nur eine immer wieder erneute Rechtfertigung ihrer Position wird sie fähig erhalten zu bleiben, was sie ihrem Begriff nach sein will: Theorie der Wissenschaft. Als Beitrag zu einer solchen Kritik möchte die vorliegende Studie aufgefaßt sein. Sie will am Streit über die Grundlagen der Mathematik die Grundbegriffe des philosophischen Kritizismus entwickeln und im Zusammenhang damit an einem erweiterten Problemkreis bewähren. Aus diesem Motiv erklärt sich zunächst ihre Haltung gegenüber den Forschungen der Marburger Schule: ungeachtet der hohen Wertschätzung für deren Leistungen tritt sie doch zu diesen an prinzipiell entscheidenden Punkten in einen bewußt und scharf umrissenen Gegensatz.

Aus dem genannten Motiv aber ergibt sich auch ihr sachliches Verhältnis zu Mathematik und Naturwissenschaft. Es mag mit aller Entschiedenheit betont sein: das Interesse und die Tendenz, wie auch die Ergebnisse dieser Studie sind an allen Punkten und in allen Beziehungen ausschließlich erkenntnistheoretisch, d. h. weder mathematisch noch naturwissenschaftlich. Nichts liegt ihr so fern, ja nichts widerspricht so sehr dem Grundcharakter der wissenschaftlichen Überzeugung, der sie selbst entspringt, wie der sinnlose Versucht, Mathematik und Naturwissenschaft in ihren Methoden und Ergebnissen "spekulativ" zu beeinflussen. Sie würde damit ihre eigenen Aufgaben geradezu verfälschen und ihr Problem in sein Gegensteil verkehren. Denn die völlig freie, nur ihren eigenen Bedingungen gemäße Entfaltung der positiven Wissenschaft ist die erste und unerläßliche Voraussetzung jeder erkenntnistheoretischen Fragestellung. Wollte die Erkenntnislehre die Wissenschaft, die sie in ihrer Struktur begreifen und rechtfertigen soll, meistern, dann wäre sie es selbst, die gegen die oberste Bedingung wissenschaftlicher Objektivität verstoßen würde. Nur an mathematischen Gesichtspunkten und naturwissenschaftlichen Ergebnissen entwickelt daher diese Abhandlung ihre Probleme, und nur eine erkenntnistheoretische Beurteilung wird der Absicht der letzteren gerecht werden können. Im Besonderen gilt dies zunächst vom Begriff des "mathematischen Objekts", den die Studie in kritizistischer Beleuchtung exponiert [hervorhebt - wp] und weiterhin von den Gesichtspunkten, unter welchen sie in kritischer Anknüpfung an die Breslauer Rektoratsrede von ADOLF KNESER das Problem der Relativitätstheorie in den Bereich ihrer Darlegungen einbezieht. Wie jener Begriff kein mathematischer, sondern ein erkenntnistheoretischer ist, so betreffen auch diese Gesichtspunkte nicht den mathematisch-naturwissenschaftlichen Inhalt, sondern durchwegs nur die erkenntnistheoretischen Grundlagen und Konsequenzen der Relativitätstheorie.



I.

1. Das erkenntnistheoretische Interesse an der Mathematik knüpft sich von altersher in erster Linie an die Frage nach den Grundlagen ihres Verhältnisses zur Natur. Je mannigfaltiger und deutlicher die Erfolge der "angewandten" Mathematik zutage treten, umso bedeutungsvoller und dringender wurde jene Frage; umso schwieriger aber erschien auch ihre Beantwortung. Und ihre historischen Beziehungen erhöhen nur noch den Grad ihrer sachlichen Bedeutung: als das spezifische Objekt der kritischen Philosophie ist sie der Repräsentant des allgemeinen Erkenntnisproblems. Denn bezeichnet Mathematik die höchste Form methodischer Erkenntnis, dann ist die Frage nach der "Möglichkeit" einer mathematischen Naturwissenschaft gleichbedeutend mit derjenigen nach den Gründen der Naturerkenntnis überhaupt, mit der Frage nach dem Prinzip der Vereinigung von "Denken" und "Sein" im Tatbestand der Erkenntnis. -

In der Tradition des philosophischen Kritizismus verknüpfen sich diese Probleme naturgemäß mit dem des "analytischen" oder "synthetischen" Charakters mathematischer Urteile. In analytischen Sätzen, erklärt einmal KANT, geht das Prädikat auf den "Begriff", in synthetischen auf das "Objekt des Begriffs". So gilt die Tatsache der angewandten Mathematik ansich schon als Ausdruck des synthetischen Charakters mathematischer Urteile.

Wie sehr aber diese Auffassung in ihren letzten Konsequenzen den Kern des philosophischen Erkenntnisproblems auch treffen mag, auf dem eigentlichen Boden mathematischer Erwägungen konnte sie zunächst nicht befriedigen. Die grundsätzliche und durchgängige Rationalisierung mathematischer Erkenntnis schließt jeden Versuch einer Begründung der Mathematik durch die Beziehung auf "Realitäten" und "Objekte" schlechterdings aus. Keine Berufung auf "Tatsachen" und nichts, was an eine solche nur entfernt erinnern könnte, darf sich dem Beweisgang der Mathematik in den Weg stellen. Kein Hinweis auf die psychologische "Evidenz" oder selbst auf die "Selbstverständlichkeit" einer Position läßt die Forderung ihrer Rechtfertigung durch Beweis überflüssig erscheinen. Was der Philosoph BOLZANO (1) einmal unter allgemeineren methodischen Gesichspunkten ausspricht, damit hat die Mathematik in der Praxis ihres Verfahrens an allen Punkten Ernst gemacht:
    "Erstens stelle ich mir die Regel auf, daß ich mich durch keine Evidenz eines Satzes von der Verbindlichkeit los zähle, noch einen Beweis für denselben aufzusuchen -, so lange, bis ich deutlich einsehe, daß und warum sich fernerhin durchaus kein Beweis fordern läßt."
Die absolute Unabhängigkeit mathematischer Erkenntnis von "objektiven" Verhältnissen, ihre grundsätzliche Rationalität und ihr prinzipielles Bezogensein auf letzte Setzungen - das sind im wesentlichen die Momente, die man mit scheinbar unbestreitbarem Recht und in einem bewußten Gegensatz zur Entscheidung des philosophischen Kritizismus zugunsten der These vom analytischen Charakter mathematischer Urteile geltend machte.

2. So stehen hinsichtlich der erkenntnistheoretischen Grundlagen der Mathematik in schroffer Gegensätzlichkeit zwei Lehrmeinungen einander gegenüber. Stützt sich deren eine auf die Autorität des größten philosophischen Systems, das unter dem unmittelbaren Einfluß NEWTONs die mathematische Naturwissenschaft zu seinem zentralen Problem macht, ja geradezu auf die Tatsache der mathematischen Naturwissenschaft selbst, - so steht hinter der anderen das ganze Gewicht der Erfolge einer durchaus selbständigen mathematischen Methode. Noch ist diese Divergenz der Meinungen nicht beseitigt. Noch ist der Streit um die erkenntnistheoretischen Grundlagen von Mathematik und mathematischer Naturwissenschaft nicht verstummt; ja er erscheint, achtet man nur auf die eigentlichen Motive seiner Entstehung, lebendiger als je zuvor.

Schon ein flüchtiger Blick auf die Streitlage belehrt über die Eigenart und über den Umfang der Schwierigkeiten, welche sich einer erfolgreichen Diskussion des Problems hindernd in den Weg stellen. - Sie scheinen ja vielleicht zunächst rein terminologischer Natur zu sein. Aber alsbald offenbaren sich auch die sachlichen Gründe der Sorglosigkeit, mit der man hier vielfach die "Grenzen" bedeutungsvoller Begriffe unkritisch "ineinander laufen läßt". Unverkennbar treten nämlich an die Stelle des Wortes "analytisch" der Reihe nach andere, diesem anscheinend synonyme Bezeichnungen. Jede von ihnen bringt je eine Seite des Problems mit größerer oder geringerer Schärfe zum Ausdruck. Weder decken sich ihre Bedeutungen aber untereinander, noch dürfen sie, und zwar einzeln so wenig wie in ihrer Gesamtheit, dem Begriff des "Analytischen" ohne weiteres gleichgesetzt werden. Unter solchen Gesichtspunkten ist der Gebrauch der Termini "begrifflich", "logisch", "widerspruchsfrei", "definitorisch" oder "willkürlich" für "analytisch" zu beurteilen. - Mag sich nun dieser Gebrauch aus den Bedürfnissen der mathematischen Forschungstechnik heraus immerhin verstehen, in Rücksicht auf solche Bedürfnisse sogar bis zu einem gewissen Grad vielleicht auch rechtfertigen lassen: - den Forderungen erkenntnistheoretischer Exaktheit vermag er nicht zu genügen. -

Und wie mit dem Begriff des "Analytischen" in der Mathematik verhält es sich auch mit dessen methodischem Gegenstück: auch der Begriff des "Synthetischen" verliert nur allzuleicht, und zwar nicht zuletzt unter dem Einfluß der schwankenden Bestimmung seines Korrelatbegriffs, seine wissenschaftliche Eindeutigkeit und Prägnanz. Bald soll er dem Analytischen gegenüber nur das Moment der gegenständlichen Gebundenheit, bald einen irgendwie auf "Erfahrung" bezogenen Gegensatz zur "Notwendigkeit" und "Allgemeingültigkeit" rein logischer Beziehungen ausdrücken, bald wieder nichts als das unbestimmte Bewußtsein eines grundsätzlichen Auseinanderfallens der logischen und mathematischen Kriterien der Urteilsgeltung repräsentieren.

3. Abstrahiert man von den handgreiflichen historischen Anlässen eines solchen Schwankens, so entdeckt man als dessen sachlichen Grund alsbald, die tiefgehende prinzipielle Wandlung, welche im Verlauf der Entwicklung - zunächst gerade der mathematischen Wissenschaften im engeren wie in einem weiteren Sinn des Wortes - die logische Bedeutung des Begriffs erfahren mußte. Die alte metaphysische Ontologie hatte wohl auf der einen Seite Begriffe und Dinge voneinander grundsätzlich unterschieden, auf der anderen aber ebenso grundsätzlich Begriffe und begriffliche Beziehungen ohne weiteres zu Kriterien für Dinghaftigkeit und reale Existenz werden lasen. Man braucht dabei nicht an gewisse metaphysische Systeme des hellenischen Altertums oder an den Begriffsrealismus des aristotelischen Mittelalters mit seinen Gottesbeweisen allein zu denken. Bis in die philosophische Renaissance, ja Gegenwart hinein, reicht noch in mannigfachen Varianten, bewußt oder unbewußt, die ontologische Beweisart. Auch der berühmte Satz von der Identität des Nichtunterscheidbaren, die Verwechslung von Verneinung mit "Realrepugnanz" [der in der Sache liegende Widerspruch im Gegensatz zu dem im Begriff liegenden - wp], die restlose Identifizierung des Verhältnisses von Grund und Folge mit dem der Kausalität oder gar mit realen "Kräften", sind ihre Früchte.

Man darf behaupten: In unmittelbarer oder in mittelbarer Beziehung auf den Ontologismus, im Sinne seiner Forderungen oder im Widerspruch zu diesen, entfaltet sich die ganze abendländische Philosophie. Im Besonderen ist es die Lehre vom Begriff, deren kritische Reform mit der Opposition gegen den Ontologismus einsetzt. Diese Opposition steigert zunächst den Unterschied zwischen Begriff und Wirklichkeit, mit dem auch der Ontologismus - wenngleich er ihn von der Seite des Begriffs her zu überbrücken suchte - gerechnet hatte, zu einem prinzipiellen Gegensatz. Und diesen Gegensatz wiederum machte sie, wie sich leicht ausführlich begründen ließe, nach zwei Richtungen hin zum Angelpunkt ihrer ganzen Argumentation. Einmal stellt sie der "Wirklichkeit" den "Begriff" als ein nur "subjektives" gebilde mit allen Konsequenzen eines solchen "Nominalismus" gegenüber. Sodann aber trennt sie begriffliche Sätze und "Wirklichkeitsurteile" je nach der Verschiedenheit ihrer Geltungskriterien voneinander. Wirklichkeitsurteile wie auch begriffliche Sätze erheben den Anspruch auf objektive Gültigkeit, d. h. auf "Wahrheit", und nur der Grund und die Kriterien ihres Geltungswertes sind verschieden. Dort ist es der Satz vom Widerspruch, hier die "Erfahrung"; dort handelt es sich um "analytische", hier um "synthetische" Urteile.

4. Aber schon in ihren allerersten Ansätzen mußte eine solche Unterscheidung, soweit sie den Gegensatz des Geltungscharakters der beiden Urteilsformen betreffen sollte, auf grundsätzliche Schwierigkeiten stoßen. Zunächst hatte durch sie der Begriff der objektiven Geltung einen prinzipiell noch ungeklärten und undefinierten Doppelsinn erhalten müssen. Sodann aber war es nicht zu verkennen, daß auch die "Erfahrung", wie sehr sie sich auch, kraft ihrer sinnlichen Bestimmungselemente, von der reinen "begrifflichen" Erkenntnis unterscheiden mag, den Bedingungen des Prinzips vom Widerspruch unterworfen ist. Ohne Eindeutigkeit keine "Erfahrung" und keine "Wirklichkeit"; ohne Geltung des Prinzips vom Widerspruch aber keine Eindeutigkeit. - Und hierzu kommt noch, als das bedeutsamste vielleicht, ein drittes: Die großen methodischen Errungenschaften der Naturforschung in der Spätrenaissance hatten, unabhängig von erkenntnistheoretischen Erwägungen, streng auf dem Boden einer exakten Wissenschaft, den Gegensatz zwischen begrifflicher und -Wirklichkeitserkenntnis aufgehoben. Im Naturgesetz verschmolzen "Begriff" und "Wirklichkeit" zu einer unlösbaren methodischen Einheit. Der Begriff tritt an die Wirklichkeit mit methodischen Forderungen heran, deren Erfüllung diesen Folgerungen und damit dem Begriff selbst den Wert gegenständlich gültiger Erkenntnis verleiht; und die "Wirklichkeit" wieder gewinnt ihren wissenschaftlich bestimmbaren Tatsachenwert erst in ihrer methodischen Einheit mit dem Begriff. In ihrer Gesetzlichkeit allein besteht die "Objektivität" der Erscheinung des freien Falls der Körper; nur ihre Definition im Gesetz verbürgt ihren erkenntnismäßig definierbaren Tatsachenwert. Nicht weil der Begriff der unmittelbare Ausdruck des "Wesens" der Wirklichkeit oder doch deren adäquates Abbild darstellt, verschwindet also, wie der Ontologismus meinte, der Gegensatz zwischen "Begriff" und "Wirklichkeit"; sondern, weil die Wirklichkeit durch den Begriff und durch ihn allein dem logischen Bereich der Erkenntnis erschlossen wird. Im Begriff der Erkenntnis erst gewinnt so der "Begriff" seine neue und vertiefte Bedeutung.

Historisch betrachtet war es der der mathematisch-naturwissenschaftlichen Forschung im Grunde genommen fernstehende Empirismus des 18. Jahrhunderts, der in der neueren Zeit den Kampf gegen den Ontologismus mit dem Gedanken der Unerläßlichkeit einer Trennung von begrifflicher und Wirklichkeitserkenntnis aufgenommen hatte. Die unmittelbar bedenklichen, spekulativen Konsequenzen jenes Ontologismus erschienen damit ja zunächst abgewandt; aber auch seine letzten Ansatzpunkte mußten beseitigt sein, soll sich der Begriff aus einem Vehikel metaphysischer Spekulation in das "Organon" der Wissenschaft verwandeln: im Begriff der Erkenntnis überhaupt, oder, was dasselbe bedeutet, im Rahmen einer allgemeinen Theorie des Objekts - wobei unter "Objekt" nicht nur sinnlich bestimmte (Erfahrungs-)Gegenstände, sondern gegenständliche Werte jeder möglichen Art zu verstehen sind - muß die ursprüngliche Dualität von begrifflicher und von Wirklichkeitserkenntnis überwunden werden.

5. Für das Gebiet der Erfahrung hatte dies, in der Kontinuität der wissenschaftlichen Tradition selbst, der philosophische Kritizismus geleistet. Denn nicht als ein wirklichkeitsfremdes Datum steht - wie eben angedeutet - der Begriff für eine kritische Theorie der wissenschaftlichen Erfahrung der Realität gegenüber; vielmehr wird er hier zum alleinigen Träger des Gedankens der erkannten oder doch erkennbaren, d. h. in einem definierten Sinn des Wortes objektiven Wirklichkeit. Nur im Begriff wird die Wirklichkeit Objekt der wissenschaftlichen Erfahrung. Die obersten Grundsätze der Erkenntnis bestimmen fortan nicht nur die logische Gliederung und den Betrieb der Erfahrungswissenschaft als eine gleichsam nur "subjektive" von der "Natur" der Dinge grundsätzlich geschiedene Sphäre, sondern zugleich auch den Begriff ihrer Objekte. Und kein Hinübergreifen aus jener subjektiven Sphäre in eine metaphysische, d. h. wissenschaftlich nicht definierte Welt des "wirklich Wirklichen" bedeutet, wie für den Ontologismus, Erfahrungserkenntnis; auch nicht, wie für einen konsequenten "Nominalismus", die völlige Abkehr von objektiv gültigen begrifflichen Werten überhaupt -; sondern die wechselseitige Bestimmung zwischen Begriff und Erfahrungsobjekt. Damit aber gewinnen auch die Probleme der Logik als einer Theorie des Begriffs einen neuen Inhalt: langsam aber stetig vollzieht sich der Übergang der Logik aus dem Zustand scholastischer Freiheit in den der wissenschaftlichen Gebundenheit.

An keinem einzigen Punkt vielleicht kommt die Wandlung in der logischen Bedeutung des Begriffs so unverkennbar zum Ausdruck, wie im Verhältnis der Begriffe "Denken" und "Erkennen". Hatte die logische Überlieferung auf dem Standpunkt des Ontologismus die beiden Begriffe einander gleichgesetzt, so trennt sie die neue, zunächst in der galileischen Vorstellung des Naturgesetzes gipfelnde Logik der Erfahrung wieder voneinander; aber nicht, um diese Trennung im Geist des Empirismus zu stabilisieren, sondern um die voneinander getrennten Faktoren unter neuen Gesichtspunkten nur umso fester aneinander zu ketten. Im Erkennen erst erteilt das Denken anderen, ansich denkfremden Faktoren einen objektiven, d. h. erkenntnismäßigen Wert, um dadurch selbst wieder von diesen Faktoren einen Erkenntniswert zu empfangen. Das Produkt dieser Wechselbeziehung eben ist der Begriff. Der Begriff erscheint somit unweigerlich an die Funktion seiner objektiven Bedeutung geknüpft; und alles, was man über ihn als über ein "nur subjektives" Gebilde des Denkens zu sagen pflegt, trifft günstigstenfalls nur die Umstände seiner Entstehung im individuellen Bewußtsein.

6. Ist nun jene unerläßliche Beziehung des Begriffs auf das Objekt, ist die Einheit von Begriff und Objekt auch in der Mathematik vorhanden? Oder fehlt hier eine solche Beziehung und steht somit das Problem des mathematischen Begriffs grundsätzlich außerhalb einer allgemeinen Theorie des Objekts? Man begreift, daß mit der Antwort auf diese Fragen die Entscheidung über den analytischen oder den synthetischen Charakter mathematischer Urteile auf das Engste zusammenhängt. Bevor aber jene Antwort erteilt werden kann, ist es unerläßlich, die Fragestellung selbst noch nach einer ganz bestimmten Richtung hin zu ergänzen und zu klären.

Zunächst sei ausgesprochen, daß der Gedanke einer möglichen Beziehung des mathematischen Begriffs auf ein Objekt, wie er hier gemeint ist, mit dem Problem der Anwendung mathematischer Begriffe auf Gegenstände irgendwelcher Art nicht das Geringste zu tun hat. Gemeint ist hier eine rein immanente, das Gebiet der Mathematik selbst nirgends überschreitende Beziehung. Schon damit allein ist die Bezeichnung "Objekt", wie sie in diesem Zusammenhang verstanden werden muß, vor naheliegenden Mißverständnissen bewahrt. Trotzdem erscheint es erforderlich, diese Mißverständnisse auch noch ausdrücklich zu zerstreuen.

Das Wort "Objekt" nämlich hat für den Mathematiker mit Recht einen besonders üblen Klang. Es löst in ihm eine Reihe von Vorstellungen aus, die ihn auf eine ganz bestimmte und zum Heil der Mathematik, zumindest in ihr selbst, endgültig überwundene erkenntnistheoretische Lehrmeinung verweisen. Unweigerlich gemahnt ihn die Frage nach einer möglichen Beziehung des mathematischen Begriffs auf ein "Objekt" an jenen unheilvollen Empirismus in der Mathematik, wie ihn der Kanon von MILLs Wissenschaftslehre begründen sollte. Unwillkürlich erblickt er in dieser Frage den Versuch eines Zurücklenkens in die Bahnen der Abstraktionstheorie, die etwa die Zahl aus der erfahrungsgemäßen Vergleichung empirischer Realitäten hervorgehen und die Grundwahrheiten der Zahlenwissenschaft auf der Evidenz der Sinne beruhen ließ. Es mag ausdrücklich und mit aller Schärfe betont werden, daß der Gedanke einer möglichen Beziehung des mathematischen Begriffs auf das "Objekt", also der Gedanke der Einheit von Begriff und Objekt in der Mathematik, wie er in der obigen Frage zum Ausdruck kommt, auch mit solchen empiristisch-realistischen Tendenzen nicht nur nichts zu tun hat, daß er vielmehr seinen eigentümlichen Sinn geradezu der entschiedenen und rückhaltlosen Ablehnung dieser Tendenzen verdankt.

Nicht um ein "Etwas" im Sinne einer wie immer zu bestimmenden "Wirklichkeit", wovon die Mathematik ihre Wahrheiten abzulesen oder zu "abstrahieren" hätte, handelt es sich also für die oben gestellte Frage. "Objekt" bedeutet hier vielmehr und ganz ausschließlich den mit dem Gedanken mathematischer Gesetzlichkeit, mathematischer Ordnung selbst, gegebenen Sachverhalt. Mathematische Erkenntnis in der allgemeinsten Bedeutung ist definiert durch den Begriff einer Ordnung von Elementen. Welches nun auch im gegebenen Fall die besonderen Merkmale oder das Prinzip dieser Ordnung sein möchten - als bestimmte Ordnung besitzt sie einen logisch eindeutig zu definierenden Sinn (2). Die natürliche Zahlenreihe z. B. ist eine solche Ordnung. Ihr logisch eindeutiger Sinn ist gegeben durch ein System definitorisch festgelegter Relationen, welche ihrerseits die "Stelle" der Elemente innerhalb der Ordnung bestimmen. Dieser definierte, d. h. logisch eindeutige Sinn - das ist es nun, was hier als "Objekt" oder als "Gegenstand" bezeichnet wird. Das tertium comparationis [das für einen Vergleich nötige Dritte - wp] ist kaum zweifelhaft.
    "Man nenne es, wie man will" - erklärt einmal der mathematische Logiker Cassius Jackson Keyser (3) - "es gibt eine Welt, die bevölkert ist von Ideen, von Inbegriffen, von Sätzen, von Relationen und Abhängigkeiten, die in endloser Verschiedenheit und Mannigfaltigkeit vom Einfachsten beginnen und bis zum Verwickeltsten aufsteigen. Diese Welt ist nicht das Produkt, sondern das Objekt, nicht das Geschöpf, sondern die Beute des Gedankens ... Wie der Astronom, der Physiker, der Geologe, oder irgendein anderer Naturforscher die Welt der Sinne in seiner Betrachtung durchmißt, so schreitet der Geist des Mathematikers nicht in einem übertragenen, sondern in einem wörtlichen Sinn im Universum der Logik vorwärts; so erforscht er alle Höhen und Tiefen nach neuen Tatsachen: nach Ideen, Klassen, Verwandtschaften, Abhängigkeiten."
Weder der Relationscharakter der Mathematik, noch auch die damit gesetzte Möglichkeit ihrer unbegrenzten Entfaltung und Gliederung werden durch den Begriff des mathematischen Objekts in Frage gestellt. Im Gegenteil! Beide Momente müssen als Ausdruck der Eigenart dieses Objektes in dessen Begriff eingehen. Er will der methodische Ausdruck dafür sein, daß die Mathematik der psychologischen Tätigkeit des Denkens als ein Inbegriff "schlechthin bindender Normen" (4) gegenübertritt.
    "Die Arithmetik muß genau in demselben Sinn entdeckt werden, wie Kolumbus Westindien entdeckte, und wir schaffen die Zahlen so wenig, wie er die Indianer erschuf. Die Zahl Zwei ist ... eine Wesenheit, die den Gegenstand unseres Denkens bilden kann. Was immer den Gegenstand unseres Denkens bildet, hat ein bestimmtes Sein, und dieses Sein ist die Vorbedingung dafür, daß es gedacht wird, ist aber nicht selbst ein Erzeugnis des Denkens." (5)
Also nicht, daß die Zahl - um es noch einmal zu betonen - Erfahrungsobjekt, "Wirklichkeit" oder aus einer solchen gewonnen ist, ist hier gemeint. Sie selbst ist, und zwar als Träger einer eigentümlichen, von keinerlei Rücksicht auf erfahrungsgemäßes Sein und Wirklichkeit beeinflußten Gesetzlichkeit, ein Objekt, ein mathematisches Objekt. Daß "wir" an ihrer Entstehung nicht unbeteiligt sind, ändert an der Eindeutigkeit ihres Sinns, folglich an ihrer Objektivität, nichts. Es fügt der letzteren höchstens nur eine nähere, exakte Determination erfordernde Bestimmung hinzu.

Man braucht sich diese Gesichtspunkte nur gegenwärtig zu halten, um die Frage, ob auch der mathematische Begriff jene unerläßliche Beziehung auf das Objekt erkennen läßt, wie sie für die Begriffe der wissenschaftlichen Erfahrung nachgewiesen werden kann, klar zu verstehen. Erscheint, das will sie besagen, der mathematische Begriff als ein Gebilde von ausschließlich subjektiver Bedeutung, oder aber ist er der Träger und Ausdruck unabhängig von der Tatsache seines eigenen subjektiven Erlebtwerdens gültiger Beziehungen? Ist seine Bedeutung darin beschlossen, daß ich ihn bilde, oder liegt sie nicht vielmehr und ganz ausschließlich im Sinn dessen, was mittels seiner gedacht ist? Die zweite der Alternativen enthält den Hinweis auf das, was soeben als "mathematisches Objekt" bezeichnet worden war. - Daß diese Bezeichnung eine Erweiterung des gewöhnlichen Begriffs vom Objekt involviert, daß also das mathematische ein Objekt von anderer logischer Struktur ist wie der Tisch, bedarf kaum der ausdrücklichen Hervorhebung. Daß aber jene Erweiterung "möglich", d. h., daß sie begründet ist, kann ohne Schwierigkeit eingesehen werden. Das Objekt, on der gewöhnlichen Bedeutung des Wortes, ist, seiner logischen Struktur nach betrachtet, eine Verknüpfung von Wahrnehmungen, und zwar eine solche, deren Geltungswert von der Tatsache eines psychophysiologischen Erlebens jener Verknüpfung selbst unabhängig ist (6). Dieser Geltungswwert ist die formale Bedingung des Objekts.
    "Wenn wir untersuchen, was denn die Beziehung auf einen Gegenstand unseren Vorstellungen für eine neue Beschaffenheit gibt, und welches die Dignität ist, die sie dadurch erhalten, so finden wir, daß sie nichts weiter tut, als die Verbindung der Vorstellungen auf eine gewisse Art notwendig zu machen und sie einer Regel zu unterwerfen; daß umgekehrt nur dadurch, daß eine gewisse Ordnung im Zeitverhältnis unserer Vorstellungen notwendig ist, ihnen objektive Bedeutung erteilt wird." (7)
Der Geltungswert einer Verknüpfung von Wahrnehmungen - das allein ist es, was die gegenständliche Bedeutung der Verknüpfung verbürgt; er "konstituiert" mithin das Objekt im gebräuchlichen Sinn des Wortes, also dasjenige Objekt, zu dessen Bestimmungselementen Wahrnehmungen gehören. Der von allen individuellen Umständen unabhängige Geltungswert einer Beziehung - nichts anderes aber konstituiert auch das oben als mathematisches Objekt bezeichnete Gebilde.

In einer solchen Erweiterung des Objektbegriffs, das zeigen diese Erwägungen, liegt daher ansich keinerlei Inkonsequenz. Jene Erweiterung rechtfertigt sich vielmehr durchwegs in der Reflexion auf den Begriff, d. h. auf die erkenntnistheoretische Funktion des Objektgedankens selbst. Die Frage kann mit anderen Worten nur sein, nicht ob man von einem mathematischen Objekt - immer streng im umschriebenen Sinn des Wortes - wird reden können, sondern wodurch sich das mathematische Objekt von dem nicht mathematischen, dem empirischen Objekt, unterscheidet. Und die Antwort auf diese Frage wird unter erneuter Betonung des schroffen Gegensatzes zwischen Mathematik und jedem Versuch einer empirischen Fundierung ihrer Grundlagen, zunächst so laugen müssen: Die Bestimmungselemente des mathematischen Objekts, genauer, das, was in ihm zu einer gegenständlichen Bedeutung verknüpft wird, ist weder sinnlich-wahrnehmungsmäßig determiniert, noch auch kann es - mittelbar oder unmittelbar - aus sinnlich wahrnehmungsgemäßen Bestimmungen hergeleitet werden.

Man wird diese Antwort und die in ihr gegebene Begriffsbestimmung des mathematischen Objekts vielleicht zu negativ finden. Man wird ihr gegenüber eine positive Determination des mathematischen Gegenstandes fordern. Mit vollem Recht; denn noch ist eben, "das, was in ihm zu gegenständlicher Bedeutung verknüpft wird", aufzuzeigen. Aber ein solcher Mangel, den nur ein unausgesetztes Studium der Relationen beheben wird, in welchem das mathematische Objekt seinem Inhalt nach besteht, kommt für die vorliegenden Erwägungen zunächst nicht in Betracht. Er schmälert die Einsicht nicht, die als Grundlage weiterer Betrachtungen hier gewonnen wurde; wie denn auch seine Beseitigung sie höchstens nach einer ganz bestimmten Richtung hin ergänzen, niemals aber überflüssig machen könnte: die Einsicht einerseits in die Bedeutung des Objektbegriffs überhaupt für die Mathematik, andererseits in die Selbständigkeit des mathematischen Objekts gegenüber dem empirischen. Und noch eines verdient hierbei zur Vermeidung naheliegender Irrtümer ausdrücklich hervorgehoben zu werden. Nicht mit einem neuen Objektbegriff soll hier die Mathematik durch die Erkenntnislehre belastet werden; vielmehr entdeckt nur die Erkenntnislehre in der von allen nicht mathematischen, also auch von erkenntnistheoretischen, Rücksichten freien Mathematik das Problem des Objekts in einer dem empirischen Objekt gegenüber neuen Modifikation.

7. Und nun erst sind die Voraussetzungen gewonnen, um zur Frage nach dem Verhältnis von Begriff und Objekt in der Mathematik mit der Aussicht auf eine wenigstens grundsätzlich befriedigende Antwort zurückzukehren. Ja, nicht nur dies. Unverkennbar gliedert sich nun auch jene Frage selbst in den umfassenderen Problemkreis ein, der oben schon kurz exponiert worden war: sie erweist sich als ein Glied im Gefüge einer allgemeinen Theorie des Objekts (8), die, grundsätzlich wohl auf der Fragestellung des philosophischen Kritizismus fußend, zu diesem dennoch im gleichen Verhältnis stehen wird, wie es zwischen dem mathematischen Objekt und dem Gegenstand der Erfahrung erkannt worden war.

Die Frage selbst aber, ob der Satz von der Einheit zwischen Begriff und Objekt auch für das Gebiet der Mathematik Geltung hat, braucht man jetzt nur mehr zu stellen, um einzusehen, daß sie bejaht werden muß. Der mathematische Begriff wäre nichts ohne den eindeutigen Sinn dessen, was er in einer unlösbaren Verbindung mit seinen sprachlichen und technischen Symbolen repräsentiert. Er selbst ist überhaupt nur kraft der Beziehung auf sein Objekt; er erschöpft sich in dieser Beziehung. Und die letztere wieder erschöpft ihrerseits den Begriff des mathematischen Objekts. Dieses "ist" nicht unabhängig von der Definition, die es in seinem Begriff und durch ihn allein erfährt. - Es war oben der allgemeinste Unterschied des mathematischen und des naturwissenschaftlichen Begriffs fixiert worden: dem ersteren fehlen wahrnehmungsmäßige Bestimmungselemente. Er kennzeichnet auch den Unterschied der beiderseitigen "Objekte". Der naturwissenschaftliche Begriff ist in einem bestimmten Sinn des Wortes komplexer als der mathematische: er vereinigt in sich durch die in ihm vorliegende Beziehung auf die Wahrnehmung Elemente von ganz verschiedener Struktur. Diese Beziehung auf die Wahrnehmung ist es, die unter etwas veränderten Gesichtspunkten als der aposteriorische [im Nachhinein - wp] Charakter des naturwissenschaftlichen Begriffs bezeichnet wird. Der mathematische Begriff hingegen ist mit seinem völligen Mangel einer solchen Beziehung auf die Wahrnehmung apriorisch [von Vornherein - wp] (9).

8. Man wird sich zunächst und im Sinne des gewöhnlichen Sprachgebrauchs mit dem Gedanken der Einheit von Begriff und Objekt in der Mathematik leichter abfinden als in der Naturwissenschaft. Die psychologischen Motive hierfür sind ohne Schwierigkeit zu erkennen. Die Möglichkeit, im naturwissenschaftlichen Begriff das Wahrnehmungs-, genauer das Empfindungselement, vom System der Beziehungen, in welche es eintritt, zu unterscheiden - und zwar mittels des beiderseitigen Verhältnisses zu bestimmten Geltungswerten, täuscht die Meinung vor, daß hier Objekt und Begriff grundsätzlich auseinanderfallen; wobei eben dann die Gesamtheit der Wahrnehmungselemente für sich als "Objekt" genommen wird. In Wahrheit freilich sondern sich Begriff und Objekt auch hier nur unter erkenntnispsychologischen, nicht aber unter sachlichen Gesichtspunkten voneinander und Wahrnehmungen haben ansich so wenig wie deren Summe eine objektive Bestimmtheit außerhalb jenes Systems von Beziehungen, durch welche sie im naturwissenschaftlichen Begriff vereinigt und bestimmt werden. Allein man darf, ohne dieser These Abbruch zu tun und sich einer unkritischen Trennung von Begriff und Objekt schuldig zu machen, erklären: in der Mathematik schafft offensichtlicher als in allen anderen Wissenschaften die Definition das Objekt. Es besteht im System jener grundsätzlich wahrnehmungsfreien Beziehungen, die eben den mathematischen Begriff - und dessen Definition ist nichts anderes, wie er selbst unter anderen methodologischen Gesichtspunkten betrachtet - ausmachen. Vom Standpunkt einer kritisch geklärten Vorstellung des mathematischen Objekts, wie sie oben entwickelt worden war, liegt hierin nichts Auffälliges. Nur unter dem Gesichtspunkt einer, die Einheitsbeziehung zwischen Begriff und Gegenstand übersehenden Auffassung erscheint dieser Satz mit einer gewissen Paradoxie behaftet. Für den Mathematiker selbst freilich wird es, sofern er nur auf den erkenntnistheoretischen Sinn seines methodischen Verhaltens reflektiert, keinem Zweifel unterliegen, daß für den mathematischen Begriff Gegenstand, Grund und Tatbestand seiner Geltung zusammenfallen; ein Umstand, aus dem sich zugleich die dominierende Rolle der Definition in der logischen Struktur der Mathematik erklärt. "In der Mathematik habe ich eher gar keinen Begriff von meinem Gegenstand, bis die Definition ihn gibt" - erklärt KANT einmal (10).
    "In der Mathematik sind die Definitionen der erste Gedanke, den ich von einem erklärten Ding haben kann, darum weil mein Begriff des Objekts durch die Erklärung allererst entspringt." (11) Denn "die Mathematik erklärt durch willkürliche Verbindung ein Objekt, dessen Gedanke eben dadurch zuerst möglich wird." (12)

    "Ein Kegel" - so erläutert Kant auf seine Art diese Gedanken - "mag sonst bedeuten, was er will; in der Mathematik entsteht er aus der willkürlichen Vorstellung eines rechtwinkligen Triangels, das sich um eine Seite dreht. Die Erklärung entspringt hier und in allen anderen Fällen offenbar durch die Synthesin." (13)
9. Damit erst ist der entscheidende Gesichtspunkt dieser ganzen Betrachtung gewonnen. Es ist der Begriff des Synthetischen bestimmt und damit die Frage nach dem analytischen oder synthetischen Charakter mathematischer Erkenntnis eigentlich beantwortet. Keine mathematische Erkenntnis, und natürlich auch keine andersartige, die nicht durch Begriffe ihr Objekt bestimmt. Mathematische Begriffe oder was, das sich im Urteil der Begriff nur expliziert, dasselbe bedeutet, mathematische Urteile, sind daher synthetisch. "Begrifflich" und "synthetisch" bringen, weit entfernt davon Gegensätze darzustellen, geradezu den gleichen erkenntnistheoretischen Gesichtspunkt zur Geltung. Alle Erkenntnis, so darf man nach den vorangegangenen Darlegungen geradezu sagen, ist als begriffliche Erkenntnis synthetisch. Daher sind auch "begrifflich" und "analytisch" für die Charakteristik mathematischer Erkenntnis nicht nur keine Wechselbegriffe; vielmehr schließen sie sich, so gewiß Mathematik Erkenntnis ist, geradezu aus.

So unmittelbar sich nun diese Einsicht auch aus den vorangegangenen Erwägungen ergeben mag, so sehr bedarf sie doch noch, um der sich hartnäckig behauptetenden These von der analytischen Natur mathematischer Erkenntnis gegenüber stichhaltig zu sein, der Rechtfertigung und der Ergänzung. Zunächst sei auf einen Umstand hingewiesen, der geeignet erscheint, die Stimmung der Mathematiker zugunsten dieser These begreiflich zu machen. Sie ist, wie nicht bezweifelt werden kann, ein Überrest des Kampfes gegen jene empiristischen Velleitäten [kraftloses, zögerndes Wollen - wp], die Mathematik auf Erfahrung reduzieren wollten, also den spezifischen Unterschied zwischen dem mathematischen und dem Erfahrungsobjekt verkannt hatten. Dieser Kampf endete, wie man im Hinblick auf den Gang der mathematischen Forschung unbedenklich sagen kann, mit der Niederlage des Empirismus. Aber noch sind die Spuren des Kampfes - und der Satz vom analytischen Charakter mathematischer Erkenntnis beweist es - nicht getilgt. Erfahrungsurteile, und die solchen entsprechenden Begriffe, sind ohne Zweifel synthetisch. Aber nur dann hätte man ein Recht, mit den Erfahrungsurteilen auch den Satz von der synthetischen Natur der mathematischen Erkenntnis abzulehnen, wenn alle synthetischen Urteile Erfahrungsurteile wären. Das aber sind sie gewiß nicht, wie der Begriff des mathematischen Objekts "möglich", d. h. berechtigt ist, bzw. als der Unterschied zwischen mathematischem und empirischem Objekt feststeht.

Infolge eines unkritischen Verhältnisses zum Begriff "synthetisch" hatte man sich daran gewöhnt, in der Frage "Analytische oder synthetisch?" eine mathematische Angelegenheit zu erblicken, während sie doch eigentlich streng erkenntnistheoretisch ist. Gleichwie in der Heranziehung des Objektgedankens, so erblickte man eben auch in der These von der synthetischen Natur mathematischer Urteile eine Beeinträchtigung der methodischen Freiheit der Mathematik. Man übersah dabei, daß es gerade diese methodische Freiheit ist, welche die Erweiterung der Begriffe "objektiv" und "synthetisch" über das Maß der Erfahrung hinaus nicht nur gestattet, sondern geradezu fordert und rechtfertigt. RUSSELLs bekanntes Scherzwort, in der Mathematik wisse man im Grunde niemals, wovon man spricht, noch auch ob das, was man sagt, wahr ist, müßte sich selbst erst als wahr erweisen, wollte man aufder These von der analytischen Natur mathematischer Urteile beharren. Wasn man aber mit Recht erklären darf, ist dies: In der Mathematik steht das, wovon etwas zu dem, was ausgesagt wird, in einer anderen und scheinbar weitaus engeren Beziehung als überall sonst. Das ist der Grund, aus welchem man mit einer weiteren, ebenso naheliegenden wie unzulässigen Begriffsverschiebung über die Tatsache des "Aussagens" das "Auszusagende" selbst vergessen, daß man im Zusammenhang damit die Objektivität mathematischer Urteile verkannt und die "Willkürlichkeit" als letzten Grund ihrer Setzung behauptet hatte. Es ist damit ein weiterer Punkt berührt, dessen völlige Klärung die unerläßliche Voraussetzung jeder Diskussion über die Grundlagen mathematischer Erkenntnis bildet.

10. Schon die bisherigen Erwägungen würden ausreichen, um den Begriff der "Willkürlichkeit" als methodisches Charakteristikum mathematischer Setzungen als grundlos und ungerechtfertigt erscheinen zu lassen. Dennoch ist es unerläßlich, die Unhaltbarkeit jenes Begriffs durch eine Reihe weiterer Argumente über jeden Zweifel zu erheben. Es ist für die Zähigkeit der psychologischen Motive, die dem Gebrauch des Willkürgedankens in der Mathematik zugrunde liegen, in hohem Grad bezeichnend, daß sich ihnen selbst KANT, ungeachtet seiner sonstigen Stellung zum Problem objektiver Erkenntnis überhaupt, augenscheinlich nicht ganz zu entziehen vermag. Noch spielt bei ihm, wie sich oben schon gezeigt hatte, im Zusammenhang mit dem Problem der Definition in der Mathematik die Vorstellung der Willkür eine nicht unerhebliche Rolle. Durch "willkürliche Verbindung" erklärte, so meint er, die Mathematik "ein Objekt, dessen Gedanke eben dadurch erst möglich" wird. Unverkennbar unterliegt also auch KANT noch der Versuchung, eine, günstigenfalls, wissenschaftspsychologische Tatsache für den Grund einer erkenntnistheoretischen Einsicht zu halten; - vielleicht, weil zur Zeit der Niederschrift jenes Satzes der Gedanke einer Trennung psychologischer und logischer Momente bei ihm selbst noch nicht zu der späteren und grundsätzlichen Schärfe gediehen war, vielleicht auch, weil KANTs sachliches Interesse am Problem des Gegenstandes sich von vornherein und wesentlich auf die Struktur des Erfahrungsobjektes konzentriert hatte. Freilich die Strenge, mit welcher dieses selbst der Analyse unterworfen wurde, hemmte bei KANT3 naturgemäß die völlige Entfaltung der methodologischen Konsequenzen des Willkürbegriffs auch für die Mathematik. In manchen der neueren Versuche einer erkenntnistheoretischen Fundierung dieser Wissenschaft dagegen fehlen vielfach solche kritische Hemmungen, und mit ungeschmälerter Entschiedenheit erhebt sich hier die Forderung der "Willkürlichkeit" in der Setzung, bzw. der Auswahl der primären Ausgangspunkte mathematischer Schlußfolgen. Sie wird vielfach nicht nur als das letzte und charakteristische methodische Prinzip mathematischer Erkenntnis, sondern auch als Beweis für den analytischen Charakter der letzteren hingestellt.

Es ist nicht schwer, den Punkt zu bezeichnen, auf den hier augenscheinlich alles ankommt. Was man mit Recht anstrebt und worauf allein der Gedanken der "Willkür" abzielen kann, ist das, was GEORG CANTOR (14) treffend "freie Mathematik" genannt hat: ein methodisches Verhalten, in seiner gesamten Struktur völlig unabhängig von allen nicht mathematischen, d. h. metaphysischen oder empirischen Gesichtspunkten. Weder über die Ausgangspunkte noch über deren gedankliche Weiterführung entscheidet, das will der Begriff der "freien" Mathematik besagen, ein "transienter" Maßstab, alles vielmehr gestaltet und gliedert sich hier im Sinne immanenter mathematisch-logischer Gesetzlichkeit. Besäße der, obgleich scheinbar nur negati, wohldefinierte Begriff mathematischer "Freiheit" auch nur etwas von eigentlicher Willkür, er müßte sich unweigerlich in sein Gegenteil verwandeln. Kein Grund ist zumindest erkennbar, aus welchem eine "Willkür" allein fähig sein sollte, die methodischen Gefahren mathematikfremder, d. h. eben empirischer und metaphysischer Gesichtspunkte zu vermeiden. - Es ist an dieser Stelle eine interessante, aus der Tiefe der Probleme selbst quellende Übereinstimmung zwischen der Theorie der Mathematik und derjenigen der Ethik kaum zu verkennen. Hier wie dort die immer wiederkehrende Versuchung, die Begriffe von "Freiheit" und "Willkür" einander gleichzusetzen. Hier wie dort aber auch im Begriff der Freiheit das höchste Maß objektiver Geltung. Zunächst bedeutet "Freiheit" in beiden Fällen ein und dasselbe: Unabhängigkeit gegenüber den methodischen Gesichtspunkten und Kriterien einer "Erfahrung". Aber hier wie dort enthält im Begriff der "Willkür" die zunächst nur negativ erscheinende Vorstellung der "Freiheit" eine scheinbar positive, in Wahrheit freilich eine grundsätzlich negative und das Wesen der Freiheit in sein diametrales Gegenteil verkehrende Determination.

Es gibt keinen größeren Gegensatz als den zwischen Willkür und Methode; und es gibt kein in höherem Grad methodengemäßes Verhalten als die sogenannte "Willkür" der Mathematik. Was die Mathematiker gelegentlich als Willkür zu bezeichnen pflegen, ist ein Verhalten, das allerdings durch keine "Erfahrung" gerechtfertigt werden kann; aber sofern sich dieses Verfahren mit den höchsten Anforderungen wissenschaftlicher Einsicht kombiniert, ist es das Gegenteil von Willkür. Es ist ein über jeden Zweifel berechtigter Grundsatz, das methodisch bedenkliche Element der psychologischen Evidenz in der Mathematik unter keinen Umständen an die Stellen von Beweisen treten zu lassen. "Was in der Wissenschaft beweisbar ist", erklärt einmal hinsichtlich der Arithmetik Dedekind, "soll auch nicht unbewiesen geglaubt werden." Man bringe diese Forderung auf eine erkenntnistheoretische Formel, und sie wird lauten müssen: Nur subjektiv gültige Beziehungen konstituieren niemals mathematische Erkenntnis. Soll sich aber dieser Grundsatz mit dem Gedanken der "Willkür" in der Setzung der Ausgangspunkte kombinieren können, dann muß aus dem Element der "Willkür" selbst jedes subjektiv-psychologische Element grundsätzlich ausgeschaltet sein. Es mag sich immerhin in der Mathematik jenseits einer gewissen Grenze um nicht mehr "beweisbare" Tatbestände handeln; und es mag der Sinn einer solchen "Unerweisbarkeit" dem Beweis und dessen Grundsätzen gegenüber zu einem durchaus selbständigen Problem werden - die Begriffe von Unerweisbarkeit und "Willkür" decken sich dennoch niemals. Ist Willkür das Prinzip einer Setzung, dann beruth diese Setzung auf einer subjektiv-psychologischen Evidenz; dann aber manifestiert sich in ihr gerade derjenige Grundsatz, von dessen unnachsichtiger Ausschaltung alle Wissenschaftlichkeit der Mathematik abhängt. Warum sollte auch die Mathematik an einem, und zwar an einem entscheidenden Punkt dulden dürfen, was sie an anderen grundsätzlich von sich weist?

Man vergegenwärtige sich einmal ausdrücklich die Forderung, welche das Prinzip der Willkür, konsequent durchgeführt, an die Mathematik stellt. Sie gipfeln, um es mit einem Wort zu sagen, in einer vollkommenen Relativierung mathematischer Erkenntnis. Warum gibt es nicht, um die Argumentation in die Gestalt einer Frage zu kleiden, wenn "Willkür" das leitende Prinzip der Mathematik ist, ebenso viele mathematische Theoreme, als es Köpfe und Stimmungen gibt? Was verhindert es, unter der Voraussetzungen der "Willkürstheorie" jede beliebige, in ihrer Geltung auf das empirische Subjekt beschränkte Kombination beliebiger Vorstellungen für Mathematik zu erklären? Woher kommen die allgemeinen Bedingungen, welchen die Mathematik als solche augenscheinlich genügen muß? Man wird, um die vermeintlichen Vorteile des Willkürbegriffs zu retten, an dieser Stelle vielleicht das Moment des "Erfolgs" geltend machen. Mathematisch legitimiert, so mag man sagen, erscheinen diejenigen willkürlichen Setzungen, die sich als "brauchbar", "erfolgreich" und "zweckdienlich" erweisen. Aber auch dieser Formel kann es nicht gelingen, die Schwierigkeiten, die dem Willkürprinzip anhaften, zu beseitigen. Zwei Fälle sind hier augenscheinlich denkbar. Entweder man entscheidet über die "Brauchbarkeit" jener Setzungen wieder nur aus Willkür, d. h. nach subjektiven Maximen; oder aber es gibt für jene "Brauchbarkeit" im allgemeinsten Sinn des Wortes objektiv gültige, d. h. wissenschaftliche Kriterien. Im ersten Fall wiederholen sich nur, wie man sieht, die Schwierigkeiten. Im zweiten erscheinen sie wohl behoben, aber auch der Willkürbegriff selbst ist geopfert: eine Willkür, über deren Zulässigkeit andere als subjektiv gültige Momente entscheiden, ist keine mehr.

Kaum gesagt zu werden braucht, daß es nur eine andere Nuance des gleichen Gedankens bedeutet, wenn man an die Stelle des "Erfolgs" den Begriff der "Konvention" setzt. Auch diese besitzt entweder unabhängig von subjektiven Umständen gültige Kriterien oder nicht. Auch sie hebt demzufolge den Begriff der Willkür entweder grundsätzlich auf, oder aber sie bringt ihn ohne jede grundsätzliche Veränderung seines Wesens und mit allen ihm anhaftenden Schwierigkeiten nur aufs Neue ungeschmälert zum Ausdruck.

Wahrlich, RUSSELLs Scherzwort müßte noch überboten werden: nicht nur wüßte man unter der Voraussetzung der Willkürlichkeit mathematischer Setzungen nicht, wovon man in der Mathematik spricht und ob das Gesagte wahr ist, sondern man besitzt überhaupt kein Kriterium dafür, ob und inwieweit man sich mit seinen Aussagen überhaupt noch "innerhalb der Mathematik" bewegt? Werden solche und ähnliche Konsequenzen tatsächlich vermieden, so beweist das nicht nur die Fruchtbarkeit des Willkürprinzips in der Mathematik, sondern vielmehr die unvermeidliche, durch die Macht der Umstände gebotene Inkonsequenz seiner Handhabung. Es wird eben dem Begriff der Willkür die Beschränkung als selbstverständlich subintelligiert [unterstellt - wp], daß er sich dem Rahmen eines ganz bestimmten, wenngleich im gegebenen Fall nicht näher definierten Systems methodischer Forderungen einzufügen hat. Diese unausgesprochene Beschränkung allein ist es, was den geradezu exzessiven Psychologismus, den die Konsequenzen des Willkürprinzips involvieren müßten, in seinen Wirkungen paralysiert: sie ist der Repräsentant des spezifischen Objektgedankens der Mathematik, wie er oben exponiert worden ist, oder was dasselbe bedeutet, der spezifischen Bestimmtheit des synthetischen Charakters ihrer Urteile und Begriffe. Es ist das eigentümliche erkenntnistheoretische Problem der Mathematik, den Begriff ihres Objekts im Hinblick auf den rationalen Charakter ihrer Struktur zu bestimmen.

11. Überblickt man nach diesen Erwägungen noch einmal die erkenntnistheoretische Problemlage, wie sie sich aus der Einsicht in die Unhaltbarkeit des Willkürmotivs ergibt, so wird man erklären dürfen:

Nicht "Willkür", diese besondere Form der subjektiven, psychologischen Evidenz, sondern eine im einzelnen Fall freilich unanalysierte Einsicht in ein System mathematischer, wissenschaftlich-objektiv gültiger Beziehungen, d. h. in die Natur des mathematischen Objekts ist es, was es erlaubt, zwischen einer, sei es begrenzten, sei es unbegrenzten, Anzahl von Möglichkeiten zum Zweck der Fixierung eines Ausgangspunktes mathematischer Deduktionen eine "beliebige" Auswahl zu treffen. Die Freiheit einer solchen Auswahl bleibt ungeschmälert; oder doch kann sie in keinem Fall durch erkenntnistheoretische, überhaupt durch nicht-mathematische Erwägungen irgendwelcher Art beeinträchtigt werden. Aber eine erkenntnistheoretische, und zwar eine durch die Erkenntnistheorie zu verneinende Frage ist es, ob jene Freiheit "Willkür" bedeuten könnte. Die Freiheit der Mathematik ist zunächst ihre Unabhängigkeit von den Kriterien der Erfahrung; und nur ein anderer Ausdruck für eine solche Unabhängigkeit ist die Bezeichnung "Freiheit" für das Verhalten der Mathematik auch hinsichtlich der Setzung oder der Auswahl von Ausgangsdefinitionen und Methoden. In der "Erfahrung" - so soll dies verstanden werden - ist es die sinnliche Bestimmtheit des Objekts, die die Ansatzpunkte der Untersuchung fixiert. Die Mathematik ist frei von solcher Gebundenheit; sie selbst bestimmt sich die Ausgangspunkte ihres methodischen Verhaltens. Das aber heißt: die Mathematik bestimmt ihre Ausgangspunkte unter der Voraussetzung ihres eigenen Begriffs und all dessen, was in diesem enthalten ist. Mit anderen Worten: die Freiheit der Mathematik in der Setzung und Wahl ihrer Ausgangsposition ist nur möglich, sofern sie ein Ausdruck der Mannigfaltigkeit von Beziehungsmöglichkeiten ist, die das in Frage kommende "mathematische Objekt" gestattet, und zwar deshalb, weil diese Beziehungsmöglichkeiten in ihrer systematischen Gesamtheit jenes mathematische Objekt selbst ausmachen. Man "kann" sich also einem mathematischen Problem gegenüber immerhin nach "freiem Ermessen" in verschiedener Weise verhalten. Aber die Mannigfaltigkeit der "möglichen" Verhaltensweisen unterliegt einer Reihe als selbstverständlich unterstellter Bedingungen. Sie richten sich einmal, um überhaupt mathematische Verhaltensweisen sein zu können, nach den allgemeinsten Voraussetzungen mathematischer Erkenntnis, mögen diese selbst wie auch immer bestimmt werden. Und sie genügen andererseits noch den besonderen Bedingungen des jeweils methodisch angestrebten Zieles, bzw. denjenigen des mittels jener Verhaltensweisen selbst erzielten Erfolges. Man wird hier zugunsten des Willkürbegriffs vielleicht die Zufälligkeit dieses Erfolges geltend machen; - allein, wie schon eine flüchtige Überlegung lehrt, zu Unrecht. Es müßte schon die "Zufälligkeit" des Erfolges nicht eine Bezeichnung für das Verhältnis des Forschers zu seinem Problem, sondern dies bedeuten, daß es überhaupt keine Bedingungen geben kann, welchen die als "Erfolg" bezeichnete Beziehung unterliegt. Das aber ist so gewiß ausgeschlossen, wie kein grundsätzliches Hindernis vorliegt, den "Erfolg" selbst in jedem einzelnen Fall zum Gegenstand einer mathematischen Problemstellung werden zu lassen.

Überhaupt erscheint es wünschenswert, sich in jeder Phase dieser Überlegung den Unterschied zwischen Frage und Problem gegenwärtig zu halten, d. h. nie zu vergessen, daß nicht schlechthin beliebige, sondern nur durch gegenständlich gültige - das Wort in seinem prinzipiellen und allgemeinsten Sinn verstanden - Bedingungen bestimmte Fragen Probleme sind. Nur die Frage stellt, auch in der Mathematik, ein Problem, die zur Bestimmung einer gegenständlich gültigen Beziehung beider beiträgt (15). Gewiß, man "läßt" Zahlen - man denke etwa an DEDEKINDs Schnitttheorie der Irrationalzahl - entstehen; aber das heißt nur, daß man, mittels einer hinsichtlich ihres Geltungswertes am systematischen Gesamtzusammenhang mathematischer Probleme bewerteten Definition, neue Geltungsbeziehungen, neue Bestimmtheiten des mathematischen Objekts, entdeckt.

12. Daß die solchen Erwägungen zugrunde liegende Anschauung sich keiner mathematischen Bedeutung rühmen kann, ist selbstverständlich; sie will und darf auch nur eine erkenntnistheoretische beanspruchen. Sie sucht - und zwar im Hinblick auf die Frage "Analytisch oder synthetisch?" - das Problem derjenigen Erweiterung des Objektbegriffs zu fixieren, welche durch die Einsicht in den apriorischen Charakter mathematischer Erkenntnis als unerläßliches Korrelat gefordert wird. "Der Mathematiker hat mit Begriffen zu tun, die öfters noch einer philosophischen Erklärung fähig sind" - sagt einmal KANT (16). Und diese "Erklärung", so darf man ergänzen, fordert eben ihre selbständige und prinzipielle Begründung. Freilich auch der Kritizismus KANTs hatte die Theorie dieses erweiterten Objektbegriffs mit genialer Schärfe, aber im Wesentlichen doch nur implizit, d. h. im Hinblick auf seine Beziehung zum herkömmlichen, entwickelt. Sache der Erkenntniswissenschaft wird es sein müssen, ihn im Rahmen einer umfassenden Theorie der Relationen auch explizit zu bestimmen. Die Mathematik als "die Wissenschaft der geordneten Gegenstände" (17) setzt eben den Begriff der Ordnung als Gegenstand der Wissenschaft voraus.

Es bedarf kaum der Erwähnung, daß an der Fixierung des Begriffs eines mathematischen Objekts in erster Linie die Logik der Mathematik interessiert erscheint: jener Begriff ist die Voraussetzung für die Erforschung des Systems der mathematischen Methoden. Denn ein solches
    "hätte nicht bloß zu zeigen, wie die rein aus Begriffen fließenden, notwendigen und allgemeinen Erkenntnisse, sondern insbesondere, wie die unendliche Fülle dieser Erkenntnisse in der Natur des Gegenstandes wurzelt." (18)
Es sind also weder Erfahrung noch Willkür - so liegen die Dinge - der Ausdruck für die Prinzipien der mathematischen Forschung. Mit Recht hatte man sich daran gewöhnt, Erfahrung und Willkür als Gegensätz zu betrachten. Nur hat man, weil einerseits auch Erfahrung und erfahrungsfreie, rationale Begründung Gegensätze darstellen, und weil man andererseits den Objektbegriff auf die Erfahrung beschränken zu müssen glaubte, die Grundlagen der Mathematik "willkürlich" sein lassen. Darin aber liegt, wie sich aus den vorangegangenen Erwägungen ergibt, eine folgenschwere Verwirrung der Begriffe und eine Verkennung vor allen Dingen der erkenntnistheoretischen Struktur der Mathematik selbst.
LITERATUR - Richard Hönigswald, Zum Streit über die Grundlagen der Mathematik, Heidelberg 1912
    Anmerkungen
    1) BOLZANO, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie, Prag 1804, Vorrede. - Vgl. auch HUGO BERGMANN, Das philosophische Werk Bernhard Bolzanos, Halle 1909, Seite 162.
    2) Daß logische Eindeutigkeit sich mit mathematischer Mehrdeutigkeit grundsätzlich verträgt, bedarf kaum der Erwähnung. Mathematische Mehrdeutigkeit heißt: Mannigfaltigkeit möglicher mathematischer Beziehungen. Wie groß diese auch sein mag - sie selbst muß als Mannigfaltigkeit eindeutig bestimmt sein.
    3) CASSIUS JACKSON KEYSER, Mathematics - a Lecture delivered at Columbia University, New York, 1907, Seite 25f.
    4) ERNST CASSIRER, Substanzbegriff und Funktionsbegriff, Berlin 1910, Seite 416.
    5) BERTRAND RUSSELL, The Principles of Mathematic, Vol. I, 1903, § 427, Seite 451. Vgl. hierzu auch MEINONG, Untersuchungen zur Gegenstandstheorie und Psychologie, Leipzig 1904, I. Über Gegenstandstheorie.
    6) Man wird vielleicht finden, daß die Bestimmung, wie sie hier vom "Objekt" gegeben wird, früheren Feststellungen zum Teil widerspricht. Sie scheint vor allen Dingen jene "Einheit zwischen Begriff und Objekt", von der früher die Rede gewesen ist, zu gefährden. Allein, dies ist, wie eine nähere Betrachtung ohne Schwierigkeit lehren würde, nicht der Fall. Es wird hier zum Zweck einer schnelleren Verständigung ausdrücklich von einem Objekt "in der gewöhnlichen Bedeutung des Wortes" gesprochen; d. h. es handelt sich dabei eben - unter dem Gesichtspunkt jener "Einheit" betrachtet - auch um ein noch weniger komplexes Stadium des Begriffs. Die einfache und alltägliche "substanziale" Bestimmung eines gegebenen Erfahrungsobjekts, gemäß etwa der Beziehung: Ding und Eigenschaft, unterscheidet sich von einer umfassenden - ja von einer als abgeschlossen gedachten - wissenschaftlichen Theorie eben dieses bestimmten Erfahrungsobjekts, also von dessen wirklichem "Begriff", nur graduell. - Zu der damit zusammenhängenden Frage nach dem Verhältnis zwischen "Begriff", "Kategorie", "Objekt" und "Wirklichkeit" vgl. meine Abhandlung "Zur Wissenschaftstheorie und -systematik", Kant-Studien, Bd. 17.
    7) KANT, Kritik der reinen Vernunft, Ausgabe B, Seite 242f.
    8) Man wird sich durch manche Punkte dieser Darlegungen vielleicht an den Plan jener umfangreichen Untersuchungen erinnert fühlen, die MEINONG und dessen Schule ausdrücklich als "gegenstandstheoretische" bezeichnet haben. Einer genaueren Analyse aber werden neben den positiven Beziehungen auch die grundsätzlichen Unterschiede zwischen den hier vorliegenden Erörterungen und der "Gegenstandstheorie" MEINONGs nicht verborgen bleiben. Die Theorie des Objekts, wie sie im vorliegenden Zusammenhang verstanden ist, vertritt die Forderung, den über den Umfang der Erfahrung ausgedehnten Begriff des Gegenstandes unter dem Gesichtspunkt der Bedingungen seiner "Möglichkeit" zu erforschen. Unter diesem Gesichtspunkt verknüpft sie nicht nur die Probleme des Begriffs und des Objekts, sondern auch die der Methodenlehre und der Erkenntnistheorie in der Einheit einer umfassenden Fragestellung. Vgl. hierzu meine Abhandlung "Zur Wissenschaftstheorie und -systematik" a. a. O.
    9) Es versteht sich von selbst, daß auch der Satz FREGEs, die auf die Natur angewandten Zahlgesetze seien "nicht Naturgesetze", das Recht der Unterscheidung zwischen "A priori" und "A posteriori" im vorliegenden Zusammenhang nicht in Frage stelt. Es ist durchaus richtig: jene angewandten Zahlgesetze "behaupten keinen Zusammenhang zwischen Naturerscheinungen, sondern einen solchen zwischen Urteilen; und zu diesen gehören auch die Naturgesetze ..." Aber eben die Mannigfaltigkeit der Bedingungen, welche diesen Zusammenhang von Urteilen beherrschen, findet in der genannten Unterscheidung ihren methodischen Ausdruck. Mit anderen Worten: "die Anwendungen der Arithmetik zur Naturerklärung" sind gewiß nichts anderes, als "logische Bearbeitungen" beobachteter "Tatsachen". Aber gerade der besondere Charakter einer solchen logischen Bearbeitung gegenüber der Struktur rein mathematischer Einsicht ist es, der hier durch den Gegensatz von "A priori" und "A postieriori" gekennzeichnet ist. - Vgl. GOTTLOB FREGE, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884, Seite 99.
    10) KANT, Untersuchung über die Deutlichkeit der Grundsätze der natürlichen Theologie und Moral (Kleinere Schriften zur Logik und Metaphysik, Ausgabe VORLÄNDER, Leipzig 1905, Seite 127).
    11) KANT, ebd. Seite 124
    12) KANT, ebd. Seite 122
    13) KANT, ebd. Seite 118
    14) CANTOR, Mathematische Annalen, Bd. XXI, 1883, Seite 563f
    15) Vgl. meine Abhandlung "Über den Unterschied und die Beziehungen der logischen und der erkenntnistheoretischen Elemente in dem kritischen Problem der Geometrie", in den Verhandlungen des III. internationalen Kongresses für Philosophie, Heidelberg 1908, Seite 890.
    16) KANT, Kleinere Schriften, a. a. O., Seite 120.
    17) Nach ITELSONs Definition. Vgl. COUTURATs Bericht über den "I. internationalen Kongreß für Philosophie" zu Genf, 1904; Revue de Métaphysik, Bd. XII, 1904.
    18) CARL STUMPF, Zur Einteilung der Wissenschaften, Berlin 1907, Verlang der Königlichen Akademie der Wissenschaften, Seite 82.